P1(Q2)

P1(Q3)

P1(Q5)

P1(Q7)

P1(Q11)

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De la même façon que l'on peut visualiser la droite projective sur le corps des nombres réels comme un cercle, la droite projective sur le corps Q_p des nombres p-adiques se réalise naturellement comme l'ensemble des "bouts" d'un arbre uniforme de valence p+1. Un bout est simplement un classe d'équivalence de chemins partant d'un sommet donné et allant vers l'infini sans rebrousser chemin ; deux tels chemins sont équivalents s'ils coïncident à un nombre fini d'arêtes près. Cette "réalisation" des nombres p-adiques ne permet pas de lire la structure de corps. En revanche, la topologie de Q_p peut se voir de façon arboricole. On obtient en effet les éléments d'une base d'ouverts en associant à chaque arête orientée l'ensemble des bouts associés aux chemins infinis partant de cette arête dans la direction indiquée.

Une partie de mes travaux consiste à utiliser ce genre de réalisations des nombres p-adiques pour étudier les représentations linéaires complexes des groupes réductifs p-adiques. On part du point de vue que ces représentations devraient être supportées par des objets discrets, comme des arbres (ou plus généralement des immeubles de Bruhat-Tits). On s'aperçoit assez rapidement que ce plan d'attaque ne peut être que limité par rapport aux outils bien plus puissants que donne la géométrie algébrique (espaces rigides analytiques, variétés de Shimura). En particulier cette approche ne fait pas apparaître les propriétés arithmétiques prévues par Langlands. D'un autre côté je pense que ce point de vue, bien qu'élémentaire, n'a pas été poussé assez loin.